12. 이항분포모형 : 기초, 1기간 이항분포모형, 2기간 이항분포모형.

12. 이항분포모형 : 기초

주식옵션의 가격을 결정하는 방법 중 매우 유용하고 많이 사용하는 방법은 이항과정 또는 이항트리를 이용하는 것입니다. 이번에는 이항분포모형의 아주 기초적인 내용을 다루도록 하겠습니다.

★1기간 이항분포모형과 무차익논리

현재 주가가 S0=$20이고, 3개월 후 주가가 22달러 혹은 18달러가 되는 경우를 살펴보자.

이때 3개월 후에 21달러에 주식을 살 수 있는 콜옵션의 가치를 평가해보자.

3개월 후 주식이 22달러로 올랐을 경우 콜옵션 가격보다 높기때문에 당연히 콜옵션을 행사할 것이다. 따라서 옵션의 가치는 1달러가 되고, 주식이 18달러로 떨어졌을 경우 옵션을 행사하지 않을 것이므로 옵션의 가치는 0달러이다.

헷지 포트폴리오를 구성하기 위해서는 콜옵션 1개를 매도하고 주식을 Δ주 매입한다.

그러면 Δ를 구해보자.

3개월 뒤 10% 상승한 주식의 가치는 22Δ달러, 옵션의 가치는 1달러이므로 포트폴리오의 가치는 22Δ-1달러이다.

3개월 뒤 10% 하락한 주식의 가치는 18Δ달러, 옵션은 행사하지 않으므로 0달러, 따라서 포트폴리오의 가치는 18Δ달러이다.

이 두 포트폴리오의 가치를 같게 만들어주는 Δ의 값은 22Δ-1 = 18Δ이므로 Δ = 0.25주이다.

따라서 매입포지션 : 0.25주, 매도포지션 : 콜옵션 1개이다.

이 무위험 포트폴리오 (헷지 포트폴리오)의 가치는 22 x 0.25 - 1 = $4.5 = 18 x 0.25= $4.5이다.

3개월 후의 포트폴리오 가치는 4.5달러인데 이 포트폴리오를 현재가치화하면 

→가 된다.

여기서 옵션의 가치(f)는 0.25주를 매입하고 콜옵션 1개를 매도한 포트폴리오의 가치= 20 x 2.5 - f이므로

5 - f = 4.367이다. 따라서 f = $0.633로 값을 구할 수 있다.

☆ 1기간 이항분포 모형의 일반화

현재 주가를 S0, 현재 주식옵션의 가치를 f, 무위험이자율을 r, 옵션만기를 T, 주가가 오를경우 S0u, 주가가 내릴경우 S0d라고 하자.

주가 S0u 상승했을 경우 옵션의 가치(이득)는 fu이고, 주가 S0d 하락했을 경우 옵션의 가치는 fd이다.

따라서 주가가 상승했을 경우 포트폴리오의 가치는 S0uΔ - fu이고, 주가가 하락했을 경우 포트폴리오의 가치는 S0dΔ - fd이다.

이제 이 포트폴리오가 무위험 포트폴리오가 되기 위한 Δ의 값을 도출할 수 있다.

→  이렇게 구해진다.

포트폴리오의 현재가치화는 , 포트폴리오의 구성비용(가치)은 이므로 두 값은 같기 때문에 f의 값을 도출할 수 있다.

→  라는 공식을 구할 수 있는데 여기서 P는 이다.

* P는 주식이 올라갈 확률, P-1은 주식이 떨어질 확률이라고 생각할 수 있다.

이제 이 공식을 앞의 예시에 대입을 해보면 u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, fu = 1, fd = 0 이므로

이다.

으로 앞서 구한 값과 같은 값이 나온다.

☆옵션의 기대미래이득 (파생상품의 가치는 그것의 미래 기대이익을 무위험이자율로 할인한 가치이다.)

에서 를 대입해주면,

가 된다. 즉, P가 상승할 확률이면 주가가 평균적으로 무위험이자율로 성장함을 보여준다.

★2기간 이항분포모형

앞서 설명한 1기간 이항분포모형을 2기간 이항분포모형으로 확장할 수 있다.

1기간마다 주가가 10%씩 상승하거나 하락한다. 기간은 역시 3개월이고 행사가격은 21달러이다.

3개월 후 주식이 상승했을때 옵션가치는 fu, 6개월 후 주식이 상승했을 때 옵션가치는 fuu 떨어졌을 때 옵션의 가치는 fud이다. 3개월 후 주식이 떨어졌을 떄 옵션가치는 fd, 6개월 후 주식이 상승했을 때 옵션의 가치는 fdu(=fud), 주식이 떨어졌을 때 옵션의 가치는 fdd이다.

① fu의 값을 구해보자.

먼저, fuu는 24.2-21=3.2달러이고, fud는 옵션을 행사하지 않기 때문에 0, fdd 역시 0이다.

㉠ 

㉡ 이므로 대입해서 계산하면 2.0257이 나온다.

② f의 값 역시 똑같이 계산해 주면 된다.

으로 옵션의 가치가 구해진다.

☆2기간 이항분포모형의 일반화

로 공식이 도출된다. 단, T=Δt년이다.

이항 과정으로부터 블랙-숄즈-머튼 공식의 도출이 가능하지만 이번 학기에는 배우지 않을 것 같다.

☆풋옵션 예제

- 앞선 이항분포모형은 모두 콜옵션을 예로 들었는데 풋옵션은 콜옵션과 반대로 생각하면 된다.

만기 2년 → 각 1년, K=52, r=5%, u=1.2, d=0.8 인 유러피언 풋옵션을 고려해보자.

현재 주가는 50달러이다.

1기간씩 시간을 거슬러 올라가면서 계산을 하면 된다. 콜옵션과 마찬가지로 계산하면 되는데 풋옵션은 주식가격이 행사가격보다 높으면 옵션을 행사하지 않는다는 점을 기억해야한다. (콜옵션은 주식가격이 행사가격보다 높을 때 옵션을 행사한다.)

이로써 이번학기 기말고사 선물옵션시장론의 수업이 마무리 되었습니다. 감사합니다.