10. 주식옵션의 기본 성격 (유러피언 옵션위주), 주식옵션, 차익거래, 풋-콜 패리티

10. 주식옵션의 기본 성격

초반에 옵션의 기초적인 정보에 대해서 배웠었는데, 이번 10장에서는 주식옵션의 기본적인 성격에 대해서 알아볼 것입니다. 그 중에서 만기일이 정해져 있는 유러피언 옵션을 위주로 알아보겠습니다.

★옵션 가격의 상한선과 하한선

- 옵션 가치의 상·하한선을 도출해 봅시다. (단, 상·하한선을 상회하거나 하회하는 경우 차익거래기회 발생!)

☆무배당 주식에 대한 콜옵션 가치의 하한선

상한선은   , 하한선은 이다.

예제10-1) 콜옵션 가격이 너무 낮을 때.

c(유러피안 콜옵션 가치) = 3, S0 = 20, T =1, r = 10%, K(행사가격) = 18, D(배당금의 현재가치) = 0(무배당)이다.

위 콜옵션의 하한선은 이다.

- 차익거래전략?

* 현재 : 콜옵션 1개에 $3에 매입한다. 그 뒤 주식 1주를 공매하여 $20을 실현한다. (20-3=)$17를 1년간 투자한다.

* 1년 후 : ① 주가(St)가 $18이상이면 옵션을 행사하여 $18에 주식을 매입하고, 주식으로 공매포지션을 마감한다. 투자로부터 를 받으면 총 $0.79의 이익을 볼 수 있다.

② 주가(St)가 $18이하이면 옵션을 행사하지 않고, 주식을 St가격에 매입할 것이다. 주식으로 공매포지션을 마감한 후, 투자로부터 $18.79를 받으면 $18.79 - St(>$0.79)의 이익을 볼 수 있다.

- 두개의 포트폴리오로 하한선을 도출해 봅시다.

A : 유러피언 콜옵션 1개 + T시점에서 K 이득주는 채권 → 가치 : max(St, K) → 만기 때. St가 K보다 크거나 같으면 옵션을 행사하여 K의 값에 주식을 매입할 것이므로 가치는 K이고, St가 K보다 작거나 같으면 옵션을 행사하지 않을 것이므로 St의 값에 주식을 매입하니까 가치는 St이다.

B : 주식 1주 → 가치 : St 

→ A포트폴리오의 가치가 항상 더 크거나 같다.

(A포트폴리오 현재가치)(B포트폴리오 현재가치) → 이다.

☆무배당 주식에 대한 유러피언 풋옵션 가치의 하한선

상한선은 , 하한선은 이다.

예제 10-3) 풋옵션 각겨이 너무 낮을 때.

p(유러피안 풋옵션 가치) = 1, S0 = 37, T = 0.5, r = 5%, K(행사가격) = 40

위 풋옵션의 하한선은 이다.

- 차익거래전략?

* 현재 : $38를 6개월 차입(빌림)한다. 그 뒤, 풋옵션 1개를 $1에 매입, 주식 1주를 $37에 매입한다.

* 6개월 후 : ① 주가(St)가 $40 이하이면 옵션을 행사하여 $40에 주식을 매도한다. 그리고 차입한 $37의 원리금 $38.96로 상환하면 40 - 38.96 = $1.04의 이익을 볼 수 있다.

② 주가(St)가 $40 이상이면 주식을 St가격에 매도하고 $38.96로 차입을 상환한다. 그러면 St - $38.96 (> $1.04)의 이익을 볼 수 있다.

- 두개의 포트폴리오로 하한선을 도출해 봅시다.

C : 유러피언 풋옵션 1개 + 주식 1주 → 가치 : max(St, K) → 만기 때. St가 K보다 크거나 같으면 옵션을 행사하지 않고, St의 가격으로 주식을 팔 것이므로 가치는 St이고 St가 K보다 작거나 같으면 옵션을 행사하여 K의 값에 주식을 팔 것이므로 가치는 K이다.

D : 만큼의 현금 또는, T시점에 K를 주는 채권 → 가치 : K 

→ C포트폴리오의 가치가 항상 더 크거나 같다.

(C포트폴리오의 현재가치)(D포트폴리오의 현재가치) →이다.

★풋-콜 패리티(무배당 주식 가정,,)

- 여기서 유러피언 콜옵션(c)과 유러피언 풋옵션(p) 간의 중요한 관계를 유도해 봅시다.

앞서 구성했던 2개의 포트폴리오를 고려해 봅시다.

A 포트폴리오 : 유러피언 콜옵션 1개 + 만기때 K를 주는 채권.

C 포트폴리오 : 유러피언 풋옵션 1개 + 주식 1주.

콜옵션과 풋옵션은 동일한 행사가격 K와 동일한 만기 T를 갖는다.

A 포트폴리오 → 만기일에 St가 K보다 높으면 콜옵션이 행사되므로 (St- K) + K = St의 가치를 갖는 것을 의미한다. 만일 St가 K보다 낮으면 콜옵션이 행사되지 않기 때문에 가치는 K가 된다. → max(St, K)

C 포트폴리오 → 만기일에 St가 K보다 낮으면 풋옵션이 행사되므로 (K-St) + St = K의 가치를 갖는 것을 의미한다. 만일 St가 K보다 높으면 풋옵션이 행사되지 않기 때문에 가치는 St이다. → max(St, K)

유러피언 옵션이므로 만기일 전에 권리를 행사할 수 없다. 만기일에서 동일한 가치를 가지므로 현재 시점에서 두 포트폴리오의 가치는 같아야 한다. 

따라서 (A 포트폴리오의 현재가치) (C 포트폴리오의 현재가치)이다.

즉, 특정한 행사가격과 만기일을 갖는 유러피언 콜옵션의 가치는 행사가격과 만기일이 같은 유러피언 풋옵션의 가치로부터 추론할 수 있다. (반대의 경우도 같음) 이를 풋-콜 패리티라고 한다.

- 차익거래전략? 만약 위의 관계가 성립하지 않는다면 차익거래 기회가 발생합니다.

c = 3, S0 = 31, T = 0.25, r = 10%, K = 30, D = 0 일때,

① p = $2.25일 경우, 

* 현재 : 콜옵션 $3에 매입하고, 풋옵션 매도로 $2.25를 실현한다. 주식 공매도로 $31를 실현하고 (31-(3-2.25)=) $30.25를 3개월간 투자한다.

* 3개월 후 : ㉠ St>30이면 투자한를 수령하고, A포트폴리오의 콜옵션 행사를 하여 주식을 $30에 매입해서 공매도한 주식을 갚는다. 그러면 31.02 - 30 = $1.02의 차익을 얻는다.

㉡ St<30이면 투자로 $31.02를 수령하고, C포트폴리오의 풋옵션 행사되어 주식을 $30에 매입한다. 따라서 $31.02-30 = $1.02의 차익을 얻는다.

② P = $1일 경우,

* 현재 : 콜옵션 매도로 $3를 실현하고, 풋옵션을 $1에 매입하고, 주식을 $31에 매입한다. 그리고 (3-1-31=)$29를 3개월간 차입한다,

* 3개월 후 : ㉠ St>30이면 콜옵션이 행사되어 주식을 $30에 매도하고, 로 차입을 상환한다. 따라서 30-29.73 = $0.27의 차익을 얻는다.

㉡ St<30이면 풋옵션 행사로 주식을 $30에 매도하고 $29.73로 차입을 상환한다. 따라서 $0.27의 차익을 얻는다.